Основні поняття теорії ймовірностей та комбінаторики

План.
1.	Предмет теорії ймовірностей.
2.	Коротка історична довідка.
3.	Види подій. Алгебра випадкових подій.
4.	Означення та властивості імовірності та частості.
5.	Основні поняття та принципи комбінаторики.

1. Предмет теорії ймовірностей.
Якщо розглянути деякий дослід, у результаті якого може з’явитися або не з’явитися подія А. Прикладами такого досліду можуть бути:
а) дослід-виготовлення певного виробу, подія А-стандартність цього виробу;
б) дослід-кидання монети, подія А-випав герб.
Події бувають достовірними, випадкові та неможливі.
Достовірною називають таку подію, яка при розглянутих умовах обов’язково трапиться.
Неможливою називають таку подію, яка при розглянутих умовах не може трапитись.
Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може й не трапитися.
Наприклад, якщо в урні є лише червоні кулі, то витягування червоної кулі-достовірна подія, а витягування з цієї урни кулі іншого кольору-неможлива подія.
Якщо кинути монету на підлогу, то поява герба буде випадковою подією, тому що замість герба може з’явитися надпис.
Випадкові події позначають великими літерами, наприклад A, B, C, D, X, Y, A1, … An.
Кожна випадкова подія є наслідком багатьох випадкових або невідомих нам причин, які впливають на подію.
Якщо розглядати подію багато разів при однакових умовах то можна виявити певну закономірність її появи або не появи. Таку закономірність називають імовірнісною закономірністю масових однорідних випадкових подій.
У теорії ймовірностей під масовими однорідними випадковими подіями розуміють такі події, які здійснюються багатократно при однакових умовах або багато однакових подій.
Предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.

2. Коротка історична довідка 

Перші роботи, в яких виникли основні поняття теорії ймовірностей, з’явились у XV–XVI ст. як спроба побудови теорії азартних ігор і належать таким видатним ученим, як Б. Спіноза, Дж. Кардано, Галілео Галілей.
Наступний етап (кінець XVII – початок XVIII ст.) розвитку теорії ймовірностей пов’язаний з роботами Б. Паска ля, П. Ферма, Х. Гюйгенса, К. Гауса, Я. Бернуллі, Н. Бернуллі, С Пуассона, А. Мавра, П. Лапласа, Т. Байєса.
В XIX ст. теорію ймовірностей почали успішно застосовувати у страховій справі, артилерії, статистиці.
Лише наприкінці XIX ст. П.Л. Чебишов та його учні А.А. Марков та А.М. Ляпунов перетворили теорію ймовірностей у математичну науку.
Подальшим розвитком теорії ймовірностей та випадкових процесів зобов’язані таким математикам, як С.Н. Берштейн, А.М. Колмогоров, Б.В. Гніденко, А.В. Скороход, В.С. Королюк, Ю. Нейман, І.І.Гіхман, І.М. Коваленко.

3. Види подій. Алгебра випадкових подій.

Означення. Події називають несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні.
Приклад. Серед однорідних деталей у ящику є стандартні та не стандартні. Навмання беруть із ящика одну деталь.
Події
А-взята стандартна деталь,		 В-взята нестандартна деталь
Несумісні тому, що взята лише одна деталь, яка не може бути одночасно стандартною та нестандартною.
Означення. Події називають сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших (не обов’язково одночасно).
Приклад. Два стрільця стріляють у мішень.
Події
А1-перший стрілок влучив у мішень,
А2-другий стрілок влучив у мішень
Будуть сумісними випадковими подіями.
Означення. Випадкові події А1, А2,… Аn утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з’явиться обов’язково.
Приклад. Кидають шестигранний кубик. Позначимо події так
А1-випала грань 1;	А2 – випала грань 2;	А3 – випала грань 3;
А4 – випала грань 4;	А5 – випала грань 5;	А6 – випала грань 6.
Події А1, А2,… А6 утворюють повну групу.
У прикладі 2 події А1 та А2 не утворюють повної групи. Але якщо позначити А0 подію, що ніхто із стрільців не влучив у мішень, тоді події А0, А1, А2 утворюють повну групу.
Означення. Події називають рівно можливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можлива за інші.
Приклад. Події-1,2,3,4,5 або 6 очок при киданні шестигранного кубика – рівноможливі при умові, що центр його ваги не зміщений.
Означення. Дві несумісні події, які утворюють повну групу, називають протилежними.
Подія, протилежна події А позначається Ā.
Приклад. Якщо позначити через А подію, що при стрільбі по мішені вибито 8 очок, то подія Ā-при стрільбі по мішені вибито будь-яке інше число очок.
Означення. Елементарними наслідками називають такі події, які неможливо розділити на більш прості. Множину усіх можливих елементарних наслідків називають простором елементарних наслідків.
Простір елементарних наслідків може містити скінчену, злічену або незлічену множину елементів.
У ролі елементарних наслідків можна розглядати точки n-вимірного простору, відрізок лінії, точки поверхні S або об’єму V трьохвимірного простору, функцію однієї або багатьох змінних.
Приклад.
а) При дворазовому киданні монети простір елементарних наслідків містить 4 точки
{(Г, Г), (Г, Н), (Н, Г), (Н, Н)}
де Г-означає появу герба, Н – означає появу надпису.
б) Нехай по мішені стріляють одиночними пострілами до першого влучення. Можливі такі елементарні події
w1{влучення при першому пострілі},
w2{влучення при другому пострілі},
w3{влучення при третьому пострілі},
іт.д.
У цьому випадку простір. елементарних наслідків може мати нескінченну кількість точок, які можна шляхом нумерації перелічити. Тому простір елементарних наслідків буде зліченим.
в) При виробництві кінескопів виникають неоднакові умови технологічного процесу, тому час роботи кінескопа відрізняється від його номінального значення, тобто буде випадковою подією.
Простір елементарних наслідків у цьому випадку буде нескінченною незліченою множиною, елементи якої неможливо пронумерувати.
Нехай А та В-випадкові події.
Об’єднанням (сумою) випадкових подій А U В (АБО А+В) називають таку випадкову подію, яка полягає у появі подій
А або В
або
А та В.
Якщо А та В-несумісні, то А U В означає події А або події В.

Подія А та		 подія В

в)
Подія В та протилежна їй подія 

г) Заштрихована площина-добуток подій АВ

д) Заштрихована площина-сума подій А U В

е) Заштрихована площина-різниця подій А – В

Означення. Об’єднанням (сумою) випадкових подій А1 U А2 U… U Аn називають таку випадкову подію, яка полягає в появі хоча б однієї з цих подій.
Приклад. Стрілок робить один постріл у мішень, поділену на три області. Позначимо
подія А1-влучення в першу область;
подія А2-влучення в другу область;
подія А3-влучення в третю область;
подія А4-немає влучення у мішень;
подія В-влучення в першу або другу області;
подія D-влучення хоч би в одну область мішені.
Тоді маємо В= А1 U А2; D= А1 U А2 U А3. Відмітимо, що події А1, А2, А3 та А4-несумісні.
Означення. Різницею В-А (або В/А) двох випадкових подій В, А називають усі наслідки, які полягають у тому, що подія А не з’являється.
Добутком (перетином) А ∩ В (або А•В) випадкових подій А, В називають таку випадкову подію, яка полягає у появі подій А та В одночасно.
Якщо А та В-несумісні, то добуток А ∩ В є множина, яка не має жодного елемента. Така множина називається пустою (порожньою) і позначається Ø.
Означення. Добутком (перетином) скінченої кількості випадкових подій А1, А2,… Аn називають таку випадкову подію, яка полягає у сумісній появі усіх цих подій одночасно.
Приклад. Стрілець стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних наслідків. Записати подію, яка полягає в тому, що: а) стрілець влучив у мішень принаймні один раз (подія С); б)) стрілець влучив рівно один раз (подія D); в) стрілець не влучив у мішень (подія F).
Розв’язання.
Позначимо
подія А-влучення при першому пострілі,
подія В-влучення при другому пострілі.
Простір елементарних наслідків складається з чотирьох подій
{АВ, А, ĀВ, Ā}.
а) Якщо стрілець влучив у мішень принаймні один раз, то це означає, що він влучив або при першому пострілі А, або при другому пострілі ĀВ, або при обох АВ.
Тобто, С= А U ĀВ U АВ.
б) Рівно одне влучення може бути тільки тоді, коли стрілець при першому пострілі влучив, а при другому-ні, або при першому пострілі не влучив, а при другому-влучив.
Тому, D= А U ĀВ.
в) Якщо стрілець не влучив у мішень, то це означає, що він не влучив при обох пострілах.
Тобто, F= Ā.

4. Означення та властивості імовірності та частості

 Означення. (Класичне) Імовірність події А дорівнює відношенню числа елементарних наслідків, які сприяють появі події А, до загального числа усіх єдиноможливих та рівноможливих елементарних наслідків.
Імовірність події А позначають Р(А). Тому за означенням 2

де m-число елементарних наслідків, що сприяють події А, n-число усіх єдино можливих та рівно можливих наслідків.
Приклад. В урні 6 однакових за розміром куль: 2 червоні, 3 сині, 1 біла. Знайти імовірність появи червоної кулі, якщо беруть одну кулю з урни навмання.
Розв’язання.
Нехай подія А-навмання взята червона куля. З урни можна взяти будь-яку кулю з шести, тому усіх можливих наслідків 6 (n=6). Для появи червоної кулі сприяти лише будуть 2 кулі, тому m=2. за формулою (1) отримаємо

Відповідь: 
Якщо множина усіх елементарних наслідків нескінчена і, як наслідок, займає деяку область G, а подія А сприяє лише частина g  G, то обчислення імовірності події А виконують згідно геометричного означення імовірності.

Означення. Відносною частотою або частістю події А називають відношення числа випробувань, у яких подія А з’явилась, до числа фактично виконаних випробувань.
Відносну частоту події А позначають W(А) або рn(А). Отже,

де m-кількість випробувань, у яких з’явилась подія А,
n-кількість усіх випробувань.
Приклад. Відділ технічного контролю серед 100 виробів виявив 8 нестандартних. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних виробів?
Розв’язання
Позначимо через А таку подію, як поява нестандартного виробу. Тоді за означенням частості події А одержимо

Відповідь: 
Означення. Статистична імовірність – це відносна частота (частість) або число близьке до неї.
Властивості.
1.	Якщо подія А достовірна, то її імовірність дорівнює одиниці, тобто р(А)=1.
2.	Якщо подія А неможлива, то її імовірність дорівнює нулеві, тобто р(А)=0.
3.	Якщо подія А випадкова, то її імовірність задовольняє співвідношення
0<Р(А)<1.		(3)

5. Основні поняття та принципи комбінаторики 

       Означення. Різні групи, складені з будь-яких елементів, що відрізняються елементами або порядком цих елементів, називають сполуками або комбінаціями цих елементів.
Приклад. Із цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 можна скласти багато різних сполук по 2,3,4,…, цифр. Деякі з них будуть відрізнятися кількістю цифр, а деякі відрізнятимуться лише порядком цифр. Наприклад 123, 8045, 56, 315, 230, 548.
Сполуки бувають трьох видів:
– переставлення;
– розміщення;
– сполучення.
Означення. Сполуки з n елементів, що відрізняються лише порядком елементів, називають переставленням цих елементів.
Кількість переставлень з n елементів позначають Pn і знаходять за формулою
Pn=1·2·3·…·(n-1)·n= n!			(1)
Позначення n! говорять «n факторіал». За означенням 0!=1.
Приклад. Скільки п’ятизначних чисел можна записати, використовуючи п’ять різних цифр (крім нуля)?
Розв’язання
Сполуки, що утворюють з п’яти різних цифр п’ятизначні числа, можуть відрізнятися лише порядком цифр, тому такі сполуки будуть представленням з 5 елементів. Згідно формули (1) їх кількість буде P5=5!=1·2·3·4·5=120.
Відповідь: P5=120.

Означення. Розміщенням з n елементів по m називають такі комбінації, які складаються з m елементів, взятих з даних n елементів (m < n) і відрізняються як порядком, так і елементами.
Кількість розміщень з n елементів по m позначають і знаходять за формулою

Приклад. Студенти другого курсу згідно учбового плану вивчають 10 дисциплін. На один день можна планувати заняття з 4 дисциплін. Скількома способами можна скласти розклад занять на один день?
Розв’язання
Усі можливі розклади занять на один день-це сполуки з 10 по 4, які можуть відрізнятися дисциплінами або їх порядком, тобто ці сполуки-розміщення. Кількість таких розміщень згідно формули (2) буде

Відповідь: 
Означення. Сполученням з n елементів по m називають комбінації, що складаються з m елементів, взятих з даних n елементів і які відрізняються хоч би одним елементом.
Кількість сполучень з n елементів по m позначають  і знаходять за формулою
				(3)
За означенням 
Між кількістю переставлень, розміщень та сполучень існує простий зв’язок
					(4)
Приклад. У ящику 10 виробів, з яких 2 нестандартні. Навмання беруть 6 виробів. Яка імовірність того, що усі взяті вироби будуть стандартними?
Розв’язання
Позначимо подію А-взято 6 стандартних виробів. згідно умови задачі, немає значення, в якому порядку беруть 6 виробів, тобто це будуть сполучення. Тому кількість усіх можливих елементарних наслідків буде

Події А сприяють лише сполуки по 6 виробів з 8 стандартних у будь-якому порядку, тобто 
Отже згідно класичному означенню імовірності події А маємо

Відповідь: 
Основні принципи комбінаторики.
Принцип суми. Якщо множина А містить n елементів, а множина В містить m елементів і А∩В=Ø, тоді множина А U В містить n + m елементів.
Принцип добутку. Якщо множина А містить n елементів, а множина В містить m елементів то множина С усіх можливих пар (аі, bк) (і=1,2,… n; к=1,2,… m) містить n · m елементів.
Приклад. У кошику 4 яблука першого сорту та 5 яблук другого сорту. Навмання беруть 2 яблука. Знайти імовірність того, що будуть взяті яблука різних сортів.
Розв’язання
Нехай подія А-навмання взяті 2 яблука різних сортів. Всього яблук 9, з них сполучень по 2 буде , тобто кількість усіх можливих наслідків  Події А будуть сприяти сполуки, утворені з пар, елементами яких будуть яблука різних сортів. Згідно принципу добутку кількість таких пар буде дорівнювати Використовуючи класичне означення імовірності, одержимо шукану імовірність події А

Відповідь: 

Питання для самоконтролю:
1.	Які види випадкових подій ви знаєте?
2.	Дайте означення суми, добутку та різниці подій.
3.	Дайте означення ймовірності та частоті подій.
4.	Перечисліть основні поняття та принципи комбінаторики.

Основні теореми теорії ймовірностей.

План:
1.	Додавання ймовірностей несумісних подій.
2.	Залежні та незалежні події, умовні ймовірності.
3.	Множення ймовірностей.
4.	Імовірність появи хоча б однієї випадкової події.
5.	Теорема додавання ймовірностей сумісних події.
6.	Формули повної імовірності та Байєса.

1.	Додавання ймовірностей несумісних подій.

Теорема. Імовірність об’єднання двох випадкових несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей

Теорема. Якщо випадкові події А1, А2,… Аn попарно несумісні, то імовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

Приклад. Імовірність влучення стрілком у першу область мішені дорівнює 0,45, у другу область – 0,35, у третю – 0,15. знайти імовірність того, що при одному пострілі стрілок влучить у першу або другу області мішені.
Розв’язання
Позначимо за подію А1-влучення у першу область мішені; за подію А2 – влучення у другу область мішені. При одному пострілі події А1 та А2 несумісні. Тому імовірність влучення в першу або другу області мішені буде

Відповідь: 

Теорема. Сума ймовірностей повної групи випадкових подій дорівнює одиниці

Наслідок. Дві протилежні події А та  утворюють повну групу, тому має місце рівність  з якої одержуємо формулу

знаходження імовірності протилежної події.
Приклад. Імовірність одержати повідомлення від певної особи на протязі доби дорівнює 0,25. Знайти імовірність того, що повідомлення на протязі доби від цієї особи не буде одержано.
Розв’язання.
Позначимо за подію А-повідомлення від цієї особи на протязі доби поступить. За умовою задачі має місце співвідношення протилежна подія  означає, що на протязі доби від цієї особи повідомлення не поступить. За формулою (2) одержимо 
Відповідь: 
Приклад. За статистичними показниками держави можна зробити висновок, що 68% чоловіків, які досягли 60-ліття, досягають також і 70-ліття. Яка імовірність того, що 60-річний чоловік не досягне свого 70-річчя?
Розв’язання
Якщо подія А-60-річний чоловік досягає свого 70-ліття, то протилежна подія -60-річний чоловік не досягає свого 70-ліття. За умовою задачі  тому за формулою (2) одержимо

Отже, використовуючи статистичні дані держави, можна обчислити імовірність того, що 32% 60-річних чоловіків помре на протязі 10 років.
Відповідь: 32%.

2.	Залежні та незалежні події, умовні імовірності

Означення. Випадкові А та В називають залежними, якщо імовірність появи однієї з них залежить від появи або не появи другої події. Якщо імовірність появи однієї події не залежить від появи або не появи другої, то такі події називають незалежними.
Означення. Імовірність події В, обчислена при умові появи події А, називають умовною імовірністю події В і позначають Р (В\А) або 
Приклад. В урні 10 куль: 3 білих і 7 чорних. Навмання беруть дві кулі. Нехай подія А-взята біла куля; подія В-взята чорна.
Якщо кулю, яку взяли першою, повертають до урни, то імовірність появи другої кулі не залежить від того, яка взята перша куля.
Якщо перша куля не повертається до урни, то імовірність другої події залежить від результату першого випробування.
Якщо першою взяли білу кулю, то в урні залишилося 2 білих кулі та 7 чорних, тому  Якщо першою взяли чорну кулю, то в урні залишилося 3 білих кулі та 6 чорних, тому  Отже імовірність події В залежить від появи або не появи події А.
Зауваження. Якщо події А та В незалежні, то умовна імовірність дорівнює безумовній імовірності, тобто

3.Множення ймовірностей 

Теорема. Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А та В дорівнює добутку ймовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша подія з’явилась
			(3)
Співвідношення (1) називають формулою множення ймовірностей залежних випадкових подій.
Наслідок. У випадку незалежних випадкових подій А та В формула (1) приймає вигляд
					(4)
і називається формулою множення ймовірностей незалежних подій.
Приклад. У деякому людському суспільстві 70% палять, 40% хворіють на рак легенів та 25% палять та мають рак легенів. Знайти імовірність того, що навмання взята особа з цього суспільства:
а) не палить, але має рак легенів;
б) палить, але не має раку легенів;
в) ніколи не палить, і не має раку легенів;
г) палить і має рак легенів;
д) або палить або має рак легенів.
Розв’язання
Позначимо події: А-особа палить; В-особа хворіє на рак легенів. Тоді за умовою задачі отримаємо     
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Відповідь:     
Приклад Навести ілюстративну діаграму властивості

Відповідь: 

4. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події

 Нехай є n сумісних випадкових подій А1, А2, … Аn. Позначимо через А подію, яка полягає в тому, що з’явиться хоча б одна з цих подій. Тоді подія  полягає в тому, що події А1, А2, … Аn не з’являться, тобто  Події А та  утворюють повну групу подій, тому
.
Звідси отримаємо
				(5)
За цією формулою потрібно обчислювати імовірність появи хоча б однієї випадкової події з n сумісних подій.
Приклад. Імовірність влучення у мішень першого стрілка дорівнює 0,7, другого стрілка – 0,8, а третього – 0,9. Знайти імовірність влучення у мішень хоча б одного стрілка.

Розв’язання
Позначимо події
А1-у мішень влучив перший стрілок;
А2- у мішень влучив другий стрілок;
А3- у мішень влучив третій стрілок;
А- у мішень влучив хоча б один стрілок.
За умовою задачі події А1, А2, А3 незалежні, тому події ,  та  також незалежні. Тому згідно формули (5) та формули множення ймовірностей незалежних подій отримаємо
		(6)
Так як  то за формулою (6) одержимо

Відповідь: 

5. Теорема додавання ймовірностей сумісних події.

Теорема. Якщо випадкові події А та В сумісні, то імовірність їх об’єднання дорівнює сумі їх ймовірностей без імовірності їх сумісної появи, тобто
				(7)
Зауваження. Якщо події А та В незалежні, то формула (7) прийме вигляд

Для залежних випадкових подій маємо

Приклад. У залежності від наявності сировини підприємство може виробити та відправити замовникам щодобово кількість певної продукції від 1 до 100. Яка імовірність того, що одержану кількість продукції можна розподілити без залишку
а) трьом замовникам;
б) чотирьом замовникам;
в) дванадцяти замовникам;
г) трьом або чотирьом замовникам?
Розв’язання
Позначимо події
А-одержана кількість виробів ділиться на 3 без залишку;
В-одержана кількість виробів ділиться на 4 без залишку.
Використовуючи класичне означення імовірності, знаходимо
а) 		б) 		в) 
події А та В-сумісні, тому за формулою (1) одержимо
г) 
Відповідь:    

6. Формули повної імовірності та Байєса.

Теорема. Якщо випадкова подія А може з’явитись лише сумісно з однією із несумісних між собою подій В1, В2, … Вn, що утворюють повну групу, тоді імовірність події А обчислюється за формулою
				(8)
Формулу (8) називають формулою повної імовірності.
Приклад. У першому ящику 20 деталей, з яких 15 стандартних. У другому ящику 10 деталей, з яких 9 стандартних. З другого ящика беруть навмання одну деталь і перекладають її до першого ящика. Знайти імовірність того, що взята після цього навмання деталь з першого ящика стандартна.
Розв’язання
Позначимо такі події: А- з першого ящика взято стандартну деталь; В1-з другого ящика переклали до першого стандартну деталь; В2-з другого ящика переклали до першого нестандартну деталь. Згідно з умовою задачі, з першого ящика можна взяти деталь лише після того, як здійсниться подія В1 або подія В2. Події В1 та В2 несумісні, а подія А може з’явитись лише сумісно з однією із них. Тому для знаходження імовірності події А можна використати формулу повної імовірності (1), яка у даному випадку прийме вигляд
			(9)
Знайдемо потрібні імовірності

Підставимо ці значення у формулу (9) отримаємо

Відповідь: 
В умовах Теореми 1 невідомо, з якою подією із несумісних подій В1, В2, … Вn з’явиться подія А. Тому кожну з подій В1, В2, … Вn можна вважати гіпотезою. Тоді Р(Вк)- ймовірність к-ої гіпотези.
Якщо випробування проведено і в результаті його подія А з’явилась, то умовна імовірність РА(Вк) може не дорівнювати Р(Вк). Порівняння ймовірностей Р(Вк) та РА(Вк) дозволяє переоцінити імовірність гіпотези при умові, що подія А з’явилася.
Для одержання умовної імовірності використовуємо теорему множення ймовірностей залежних подій

					(10)
підставимо у формулу (3) замість Р(А) її значення з формули повної імовірності. Отримаємо
		(11)
Формулу (11) називають формулою Байєса.
Вона дозволяє переоцінювати імовірності гіпотез. 
Приклад. Деталі, виготовленні цехом заводу, попадають для перевірки їх стандартності до одного з двох контролерів. Імовірність того, що деталь попаде до першого контролера, дорівнює 0.6, а до другого – 0,4. Імовірність того, що придатна деталь буде признана стандартною першим контролером, дорівнює 0,94, а другим – 0,98. Придатна деталь при перевірці признана стандартною. Знайти імовірність того, що деталь перевіряв перший контролер.
Розв’язання
Позначимо такі події: А-придатна деталь признана стандартною; В1-деталь перевіряв перший контролер; В2 – деталь перевіряв другий контролер. За умовою задачі отримаємо
Р(В1)=0,6;		Р(В2)=0,4;
	
За формулою Байєса при к=1 отримаємо

Відмітимо, що до появи події А імовірність Р(В1)=0,6, а після появи події А імовірність перевірки деталі першим контролером РА(В1)=0,59 поменшала.
Відповідь: РА(В1)=0,59.
Приклад.. Ймовірність знищення літака з одного пострілу для першої гармати дорівнює 0,2, а для другої гармати – 0,1. Кожна гармата робить по одному пострілу, причому було одне влучення у літак. Яка імовірність того, що влучила перша гармата?
Розв’язання
Позначимо такі події: А-знищення літака з одного пострілу першою гарматою; В-знищення літака з одного пострілу другою гарматою; С-одне влучення у літак. Маємо чотири гіпотези

які утворюють повну групу подій. Імовірностями цих гіпотез будуть

Так як сума
Н1+Н2+Н3+Н4
є достовірна подія, то
Р(Н1)+Р(Н2)+Р(Н3)+Р(Н4)=1.
Умовні імовірності події С будуть

Тепер за формулою Байєса знаходимо шукану імовірність

Відповідь: 
Питання для самоконтролю:
1.	Як додавати  несумісні події?.
2.	Залежні та незалежні події, умовні ймовірності.
3.	Як множити ймовірності?
4.	Імовірність появи хоча б однієї випадкової події.
5.	Перерахуйте теореми додавання ймовірностей сумісних події.
6.	Назвіть формулу повної імовірності та Байєса.